HORIZONTES LEJANOS

[Llaut Mallorquin]

Creo que esto ya lo he puesto antes, pero bueno, para las nuevas generaciones ahí va.
Durante un cursillo de restauración que impartí, una de las alumnas menos distraídas, (otra estaba leyendo una novela) de repente me preguntó:
¿ A qué distancia está un barco que empieza a desaparecer en el horizonte?
Me quedé pensando con mi lento cerebro y luego le contesté.
-¿Conoces la antigua definición de 1 m y el teorema de Pitágoras?
-No- fue su respuesta.
Pues deberías, pero es (relativamente) fácil calcularlo.
El metro lineal, según el antiguo plan de estudios de mi infancia (período Jurásico) es la:
"Diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre" (supuesta la Tierra perfectamente esférica)
Así que un cuadrante tiene 10.000km. (una vuelta completa a la Tierra, como hizo Phileas Fogg en la novela de Verne, son 40.000Km)
Vamos a preparar los ingredientes de la receta.
Esto va de catetos e hipotenusa.
Un cateto del triángulo rectángulo es el radio de la Tierra R
Otro cateto es la distancia "d" que preguntó mi aplicada alumna
Y la hipotenusa es el radio de la Tierra R, más la altura de mis ojos (1.50m= 0,0015Km) situado de pie, en el borde donde llega la marea en una playa.
Hallamos el radio de la Tierra 3,141592... (pi)x2R= 40.000km----R=40.000/2x3,141592...= 6.371km (el número Pi tiene infinitos decimales, así que el redondeo es 6.371km)
Entonces vemos el triángulo rectángulo de la horrible figura de abajo y aplicamos Pitágoras.
Luego el barco está a 4.371m (4.4 Km redondeando) de distancia; es decir, la distancia depende de la altura del punto de observación.
Un enano lo vería más cerca que yo y Sánchez más lejos
Por otra parte, afirmo rotundamente que la línea de flotación de un barco, no es como se suele pintar, sino que es convexa hacia el cielo.
Pido disculpas porque me ha despertado el gato a las 5,00 AM pidiendo comida y todavía estoy dormido
P.D. Una anécdota.
Cuando se lo mostré a un amigo, que dice ser ingeniero aeronáutico, me dijo sonriendo que la altura de mis ojos, (0,0015 Km) comparada con el radio de la tierra (6.371km) era despreciable....

[Eli]

No me hagas mucho caso porque el gato me ha despertado a mi a las 7:00 y mi veterana madre 10 veces a lo largo de la noche.
Pero yo también trabajo en el ramo de tu amigo, y no solo no es despreciabre tu altura, sino que es clave, a la vez que la altura del barco, que veo que no has tenido en cuenta.
Saludos adormilados.

[Llaut Mallorquin]

Hola
Bueno que yo sepa el barco comienza a ocultarse justo por la línea de flotación.
Si consideráramos la altura total del barco la distancia no se podría calcular, salvo en el momento exacto en que la tangente visual de tus ojos a la superficie del mar coincida con la línea de flotación del barco
Cualquier otro punto del barco desbarata la rectangularidad del triángulo y entonces se acabó Pitágoras
Efectivamente la altura de los ojos sobre la arena de la playa en el borde de la marea es clave en el asunto.
Por eso me dejó ojiplático el comentario de mi amigo

[Llaut Mallorquin]

Comentando este hilo con Leopoldo, me contó que una vez, él niveló un taquímetro y puso la cruz de los hilos del visor en el horizonte del mar.
Luego giro el visor 45º hacia la derecha y vio...¡el cielo!

[Adry]

Hola

Esto: "la altura de mis ojos, (0,0015 Km) comparada con el radio de la tierra (6.371km) era despreciable", perece evidente, pero no se debe despreciar en este cálculo. Si se hiciese ocurriría que 6371sq+dsq=6371sq lo que es imposible por enunciado (sq se refiere a elevado al cuadrado).
Para una diferencia de 30 cm de altura entre observadores (1.50 vs 1.80m) se dejaría de ver la línea de flotación (o empezaría a desaparecer el barco) a unos 0,417 Km para el que tiene los ojos a 1.80m más alla que para el bajito de 1,50m.

Espero no confundirme,

[Llaut Mallorquin]

Hola

Esto: "la altura de mis ojos, (0,0015 Km) comparada con el radio de la tierra (6.371km) era despreciable", perece evidente, pero no se debe despreciar en este cálculo. Si se hiciese ocurriría que 6371sq+dsq=6371sq lo que es imposible por enunciado (sq se refiere a elevado al cuadrado).
Para una diferencia de 30 cm de altura entre observadores (1.50 vs 1.80m) se dejaría de ver la línea de flotación (o empezaría a desaparecer el barco) a unos 0,417 Km para el que tiene los ojos a 1.80m más alla que para el bajito de 1,50m.

Espero no confundirme,

El alto lo vería a:
RxR+dxd= (R+0.0018)x(R+0.0018)
Entonces resulta que d=4.79km
El bajo lo vería a:
RxR+dxd= (R+0.0015)x(R+0.0015)
Entonces resulta que d=4.37km
4,79-4,37= 0.42 km
Eso sí, 3 m de diferencia entre tu cálculo y el mío, aunque frente a casi 5 km son una minucia, pero si vas nadando hacia el barco con un tiburón detrás...

[manuelsirgo]

Yo soy más físico que matemático. Por tanto, estos cálculos, como entretenimiento los veo bien pero a nivel práctico y concreto no lo veo. Lo primero que habría que encontrar es el lugar junto al mar de la tierra donde el radio terrestre coincida con ese radio medio que habéis usado. Algunos habrá con seguridad, pero eso ya condiciona todo el cálculo a esos lugares concretos donde el radio terrestre sea exactamente de 6371,0000 km. En este caso los ceros son significativos pues luego incrementamos el radio en 15 diezmilésimas de kilómetro. Evidentemente no se puede despreciar ese 1,50 m pues entonces no tendríamos triángulo, ni rectángulo ni de ningún tipo al tener dos lados iguales. Con tantos condicionantes, yo diría que solo podemos aspirar a hacer un cálculo aproximado de que el barco empieza a desaparecer a los 4,4 km aproximadamente, independientemente de que seas muy alto o muy bajo y en un lugar muy cercano al radio medio de la tierra. Y luego está medir la altura de los ojos sobre la linea de la marea. ¿En qué punto? El oleaje influye en que se haga desde un puno u otro. Habría que tomar un punto medio y meter los pies hasta ese punto (nos descalzaríamos claro). Aunque que sea marea alta o baja no influye, si que influye que el mar esté bravo o no, que haya resaca y la linea de agua se desplace más adentro que si no la hay. Vamos un cirio.

[Adry]

Efectivamente, los cálculos eran para hacernos una idea aproximada, pura matemática sin tener en cuenta nada mas.
Como experiencia práctica os diré que, a parte de lo que dice Manuelsirgo, la refracción de la luz también influye, el estado atmosférico idem, etc. hay días que desde una playa de la isla donde vivo no se ven otras islas y otros sí, y mira que son altas estas islas. Si alguna vez se pasan por Canarias pueden comprobarlo.

[manuelsirgo]

Desde luego. Yo siempre creí que lo de las puestas de sol nítidas en Baleares y otras islas eran exageraciones. Pues no lo son. Lo pude comprobar en vivo en una puesta de sol fantástica en Mallorca donde pude contemplar hasta el famoso rayo verde. La nitidez del arco del sol poniente puede ser espectacular. Pero como bien dices influyen muchos factores, como la refracción y posibles fenómenos de dispersión, dependiendo de la atmósfera. Pero como juego/pasatiempo matemático a mi me gusta mucho.

[crisjaca]

Desde luego. Yo siempre creí que lo de las puestas de sol nítidas en Baleares y otras islas eran exageraciones. Pues no lo son. Lo pude comprobar en vivo en una puesta de sol fantástica en Mallorca donde pude contemplar hasta el famoso rayo verde. La nitidez del arco del sol poniente puede ser espectacular. Pero como bien dices influyen muchos factores, como la refracción y posibles fenómenos de dispersión, dependiendo de la atmósfera. Pero como juego/pasatiempo matemático a mi me gusta mucho.

Venga YA !!! En serio??? viste el rayo verde?? tu sabes que es algo super difícil de ver, por que tienen que confluir un montón de circunstancias, calidad del aire, sin nubes, ni obstáculos en ese momento, aunque sea en la lejania, etc...desde que leí el libro de Julio Verne, estoy a su búsqueda, infructuosa, amigo eres un suertudo, de los pocos, creo yo.

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[Cayetano]

Conversación muy entretenida, no apta para terraplanistas. Es cierto lo de la línea de flotación curva, lo cual es extensible a cualquier superficie líquida en reposo, influyendo decididamente en el trazado de canales y conductos de agua por gravedad.
Lo del rayo verde me ha impactado. Es la primera vez que he oído a alguien decir que lo ha visto, y hace 70 años que leí la novela de Verne.